Abelowy – definicja i znaczenie
Abelowy – przymiotnik matematyczny wywodzący się od nazwiska norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abla (1802–1829). Określa struktury algebraiczne spełniające prawo przemienności oraz obiekty matematyczne nawiązujące do odkryć Abla. Najważniejsze użycia: grupa abelowa, całka abelowa, rozmaitość abelowa, twierdzenie Abla.
Niels Henrik Abel – sylwetka
Niels Henrik Abel urodził się 5 sierpnia 1802 roku w Finnøy w Norwegii, w rodzinie pastora. Mimo skrajnego ubóstwa i braku wsparcia instytucjonalnego, wykazał geniusz matematyczny już jako nastolatek. W wieku 19 lat udowodnił niemożliwość algebraicznego rozwiązania ogólnego równania stopnia piątego i wyższych – problem nierozwiązany przez ponad 250 lat. Wynik ten, zwany twierdzeniem Abla-Ruffiniego, był przełomem w historii algebry. Abel umarł na gruźlicę w wieku zaledwie 26 lat.
Grupa abelowa
Najważniejszym pojęciem noszącym imię Abla jest grupa abelowa (przemienna). Grupa to zbiór z działaniem spełniającym: łączność, istnienie elementu neutralnego, istnienie elementów odwrotnych i – w przypadku abelowej – przemienność (a ∘ b = b ∘ a). Przykłady: liczby całkowite z dodawaniem (ℤ, +), liczby rzeczywiste bez zera z mnożeniem (ℝ∖{0}, ×). Grupy nieabelowe (nieprzemienna) to np. permutacje zbioru co najmniej trzyelementowego.
Inne pojęcia abelowe
Całki abelowe to całki postaci ∫R(x,y)dx, gdzie R jest funkcją wymierną, a y spełnia równanie algebraiczne. Rozmaitości abelowe to w geometrii algebraicznej zwarte grupy algebraiczne. Twierdzenie Abla w analizie dotyczy zbieżności szeregów potęgowych na granicy przedziału zbieżności. Kategoria abelowa to struktura teorii kategorii uogólniająca własności modułów.
Nagroda Abela
Na cześć norweskiego matematyka w 2003 roku ustanowiono Nagrodę Abela – przyznawaną corocznie przez Norweską Akademię Nauk za wybitne osiągnięcia matematyczne. Uważana jest za matematyczny odpowiednik Nagrody Nobla. Laureatami byli m.in. Jean-Pierre Serre, John Tate i Andrew Wiles (udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata).
Znaczenie dziedzictwa Abla
Krótkie, tragiczne życie Abla stało się symbolem niezrozumianego geniusza. Jego prace, odrzucane lub ignorowane przez ówczesne środowisko akademickie, doceniono dopiero po śmierci. Dziś przymiotnik abelowy jest jednym z najczęściej używanych eponimów w matematyce – świadectwo trwałości wkładu, jaki wniósł w wiek zaledwie 26 lat życia.